线性代数笔记

行列式

• 证明交换变号

  • 用数学归纳法
    • 对交换i，j行来说，用第k行的余子式来求值
    • 第k行的所有余子式的i，j行都交换了
    • 得证
  • 逆序对法易证

• 化成上下三角

  • 1、先观察能否换行列
    • 使得减的时候更好减
  • 2、观察能否加出来一个全相等的行列

• 高化

  • 在不好减的时候，扩充
  • 扩充的时候，只要是三角型，对角线的是1，其他随意

• 递推

  • 行列式内的结构和大结构都长得很像
  • 设$F_n$来递推
  • 还能使用转置来消掉$F_{n-1}$

• 鸡爪型

  • 直接化成上三角
    • 每个元素乘上对应的分数

• 范德蒙德行列式

  • 用数学归纳法

• 代数余子式乘不同的行列

  • 证明：取一个有两个行列相同的，然后易证

• Cramer法则

  • D≠0有唯一解
  • 证明：把方程所有元素用时乘上一列的余子式，然后易证

• 齐次线性方程组

  • D=0只有零解，有非零解D≠0